Question

命題p：一元二次方程mx²-（1-m）x+m=0有兩個正實根；命題q：關(guān)于x的不等式4x²-8mx+5m-1＞0的解集為R．若p∧q為真命題，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：由韋達定理及一元二次方程根的個數(shù)與△的關(guān)系，可由mx²-（1-m）x+m=0有兩個正實根構(gòu)造命題p為真時，關(guān)于m的不等式組；根據(jù)二次不等式恒成立的條件，可構(gòu)造命題q為真時，關(guān)于m的不等式組；進而根據(jù)p∧q為真命題，則p，q均為真命題，可求出實數(shù)m的取值范圍

解答：解：p真：

△1=(1-m)2-4m2≥0 x1+x2= m 1-m ＞0 x1x2=1＞0

⇒0＜m≤

1

3

，…（5分）
q真：△2=64m2-16(5m-1)＜0⇒

1

4

＜m＜1，…（10分）
又p∧q為真，
∴p，q均為真命題，
∴m的取值范圍

1

4

＜m≤

1

3

，…（12分）

點評：本題考查的知識點是復(fù)合命題的真假，其中根據(jù)二次方程根的個數(shù)與△的關(guān)系，韋達定理及二次不等式恒成立的條件構(gòu)造對應(yīng)的關(guān)于m的不等式組，是解答的關(guān)鍵．