Question

10．已知函數(shù)f（x）=log₂（x²+1），函數(shù)g（x）=（$\frac{1}{3}$）^x-m．若?x₁∈[0，3]，?x₂∈[1，2]，使得f（x₁）≥g（x₂），則m的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{1}{9}$，+∞）
• B． [$\frac{1}{3}$，+∞）
• C． （-∞，$\frac{1}{9}$]
• D． （-∞，$\frac{1}{3}$]

Answer 1

分析 要使命題成立需滿足f（x₁）_min≥g（x₂）_min，利用函數(shù)的單調(diào)性，可求最值，即可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：∵當(dāng)x₁∈[0，3]時(shí)，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，
∴f（x₁）∈[0，log₂10]；
∵g（x）=（$\frac{1}{3}$）^x-m在[1，2]上是減函數(shù)，
∴當(dāng)x₂∈[1，2]時(shí)，g（x₂）∈[$\frac{1}{9}$-m，$\frac{1}{3}$-m]．
要使命題成立需滿足f（x₁）_min≥g（x₂）_min，
即0≥$\frac{1}{9}$-m，
解得m≥$\frac{1}{9}$，
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，解決的常用方法是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題進(jìn)行處理．，考查學(xué)生邏輯思維，分析解決問(wèn)題的能力．要使命題成立需滿足f（x₁）_min≥g（x₂）_min，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．