Question

已知關(guān)于x的方程|x-k|=

2

2

k

x

在區(qū)間[k-1，k+1]上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)f（x）=|x-k|，g（x）=

k 2

2

•

x

，根據(jù)絕對值函數(shù)和根式函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：由方程可知k≥0，
設(shè)f（x）=|x-k|，g（x）=

k 2

2

•

x

，
則函數(shù)f（x）在[k-1，k]上單調(diào)遞減，在[k，k+1]上遞增，g（x）在區(qū)間[k-1，k+1]上單調(diào)遞增，
要使關(guān)于x的方程|x-k|=

2

2

k

x

在區(qū)間[k-1，k+1]上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，
即函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間[k-1，k+1]上有兩個(gè)交點(diǎn)，
由圖象可知，

f(k-1)≥g(k-1) f(k+1)≥g(k+1)

，
即

|k-1-k|=1≥ 2 2 •k• k-1 |k+1-k|=1≥ 2 2 •k• k+1

，
則只需要

2

2

•k•

k+1

≤1成立即可，此時(shí)0≤k≤1，
當(dāng)k=0時(shí)，不等式等價(jià)為|x|=0，在區(qū)間[-1，1]上只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件，
故0＜k≤1．
故答案為：0＜k≤1．

點(diǎn)評：本題主要考查方程根的應(yīng)用，利用方程和函數(shù)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．