Question

9．函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$（sin²x-cos²x）+2sinxcosx的最小正周期為π，單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．

Answer 1

分析 （1）用三角恒等變換化簡函數(shù)f（x），求出f（x）的最小正周期；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$（sin²x-cos²x）+2sinxcosx
=-$\sqrt{3}$cos2x+sin2x
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）∵f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z；
∴2kπ-$\frac{π}{6}$≤2x≤2kπ+$\frac{5}{6}$π，k∈Z；
∴kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
故答案為：（1）π，（2）$[{kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}}]（{k∈Z}）$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換問題，也考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用問題，是基礎題目．