4.已知f(x)=cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$,
(1)寫出f(x)圖象的對稱中心的坐標(biāo)和單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)△ABC三個內(nèi)角A、B、C所對的邊為a、b、c,若f(A)+1=0,b+c=2.求a的最小值.

分析 (1)化簡得f(x)=cos(2x+$\frac{π}{3}$),令2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ,解出對稱中心,令-π+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ,解出單調(diào)增區(qū)間;
(2)由f(A)+1=0解出A,由b+c=2得b2+c2=(b+c)2-2bc=4-2bc,代入余弦定理得a2=4-3bc,即bc取得最大值時,a2取得最小值.

解答 解:(1)f(x)=cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=cos(2x+$\frac{π}{3}$),
令2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ,解得x=$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$,
∴f(x)的對稱中心為:($\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$,0),
令-π+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ,解得-$\frac{2π}{3}$+kπ≤x≤-$\frac{π}{6}$+kπ,
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為:[-$\frac{2π}{3}$+kπ,-$\frac{π}{6}$+kπ],k∈Z.
(2)∵f(A)+1=0,即cos(2A+$\frac{π}{3}$)+1=0,∴cos(2A+$\frac{π}{3}$)=-1.
∵0<A<π,∴$\frac{π}{3}$<2A+$\frac{π}{3}$<$\frac{7π}{3}$,
∴2A+$\frac{π}{3}$=π,∴A=$\frac{π}{3}$.
∵b+c=2,∴b2+c2=(b+c)2-2bc=4-2bc
∴a2=b2+c2-2bc•cosA=4-3bc≥4-3($\frac{b+c}{2}$)2=1.
當(dāng)且僅當(dāng)b=c=1時,a取得最小值1.

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換和性質(zhì),余弦定理得應(yīng)用,是中檔題.

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