Question

10．三棱錐P-ABC的底面ABC是邊長為1的正三角形，頂點P到底面的距離為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，點P，A，B，C均在半徑為1的同一球面上，A，B，C為定點，則動點P的軌跡所圍成的平面區(qū)域的面積是（　　）

• A． $\frac{1}{6}π$
• B． $\frac{1}{3}π$
• C． $\frac{1}{2}π$
• D． $\frac{5}{6}π$

Answer 1

分析 求出球心到平面ABC的距離，利用三棱錐P-ABC的高為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，可得球心到動點P的軌跡所圍成的平面區(qū)域的距離，即可求出圓的半徑，從而可得動點P的軌跡所圍成的平面區(qū)域的面積．

解答 解：∵AB=AC=BC=1，
∴△ABC的外接圓的半徑為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵球的半徑為1，
∴球心到平面ABC的距離為$\sqrt{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
∵三棱錐P-ABC的高為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
∴球心到動點P的軌跡所圍成的平面區(qū)域的距離為$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴動點P的軌跡所圍成的平面區(qū)域的圓的半徑為$\sqrt{1-\frac{1}{6}}$=$\sqrt{\frac{5}{6}}$，
∴動點P的軌跡所圍成的平面區(qū)域的面積是$π•\frac{5}{6}$=$\frac{5π}{6}$．
故選：D．

點評 本題考查動點P的軌跡所圍成的平面區(qū)域的面積，考查學生的計算能力，正確求出動點P的軌跡所圍成的平面區(qū)域的圓的半徑是關鍵．