10.三棱錐P-ABC的底面ABC是邊長為1的正三角形,頂點P到底面的距離為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$,點P,A,B,C均在半徑為1的同一球面上,A,B,C為定點,則動點P的軌跡所圍成的平面區(qū)域的面積是(  )
A.$\frac{1}{6}π$B.$\frac{1}{3}π$C.$\frac{1}{2}π$D.$\frac{5}{6}π$

分析 求出球心到平面ABC的距離,利用三棱錐P-ABC的高為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$,可得球心到動點P的軌跡所圍成的平面區(qū)域的距離,即可求出圓的半徑,從而可得動點P的軌跡所圍成的平面區(qū)域的面積.

解答 解:∵AB=AC=BC=1,
∴△ABC的外接圓的半徑為$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∵球的半徑為1,
∴球心到平面ABC的距離為$\sqrt{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
∵三棱錐P-ABC的高為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$,
∴球心到動點P的軌跡所圍成的平面區(qū)域的距離為$\frac{\sqrt{6}}{6}$,
∴動點P的軌跡所圍成的平面區(qū)域的圓的半徑為$\sqrt{1-\frac{1}{6}}$=$\sqrt{\frac{5}{6}}$,
∴動點P的軌跡所圍成的平面區(qū)域的面積是$π•\frac{5}{6}$=$\frac{5π}{6}$.
故選:D.

點評 本題考查動點P的軌跡所圍成的平面區(qū)域的面積,考查學生的計算能力,正確求出動點P的軌跡所圍成的平面區(qū)域的圓的半徑是關鍵.

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