Question

13．已知函數(shù)g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在區(qū)間[2，3]上有最大值4和最小值1，設(shè)f（x）=$\frac{g（x）}{x}$．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷g（x）的單調(diào)性，根據(jù)最值列出方程組解出a，b；
（II）化簡(jiǎn)不等式，分離參數(shù)得k≤（$\frac{1}{{2}^{x}}$）²-$\frac{2}{{2}^{x}}$+1在[-1，1]上恒成立，設(shè)t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，利用換元法得出h（t）=t²-2t+1在[$\frac{1}{2}$，2]上的最小值即可得出a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵g（x）的函數(shù)圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=1，
∴g（x）在區(qū)間[2，3]上是增函數(shù)，
故$\left\{\begin{array}{l}{g（2）=1}\\{g（3）=4}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1+b=1}\\{3a+1+b=4}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=0．
（Ⅱ）由已知可得f（x）=x+$\frac{1}{x}$-2，
∵不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上恒成立，即2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$-2-k•2^x≥0在[-1，1]上恒成立，
∴k≤（$\frac{1}{{2}^{x}}$）²-$\frac{2}{{2}^{x}}$+1在[-1，1]上恒成立，
令t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，則k≤t²-2t+1=（t-1）²恒成立，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，
設(shè)h（t）=（t-1）²，則h_min（t）=h（1）=0，
∴k≤0．
∴k的取值范圍是（-∞，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)最值的計(jì)算，函數(shù)恒成立問(wèn)題研究，屬于中檔題．