Question

8．已知所數(shù)f（x）=2cosωx-2sinωx（ω＞0）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞減，則當ω取得最大值時，下列說法正確的是（　　）

• A． ω=2
• B． 函數(shù)f（x）的對稱軸為x=-$\frac{π}{2}$+kx（k∈Z）
• C． 函數(shù)f（x）的對稱中心為（$\frac{π}{2}$+kx，0）（k∈Z）
• D． 函數(shù)f（x）在[$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]上的最小值為-$\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 化函數(shù)f（x）為余弦型函數(shù)，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的減區(qū)間，結(jié)合條件可求得ω的最大值，再寫出f（x）的解析式，從而判斷選項是否正確即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=2cosωx-2sinωx=2$\sqrt{2}$cos（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞減，
∴2kπ≤ωx+$\frac{π}{4}$≤2kπ+π，求得-$\frac{π}{4ω}$+$\frac{2kπ}{ω}$≤x≤$\frac{3π}{4ω}$+$\frac{2kπ}{ω}$ （k∈Z）．
∵f（x）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞減，
∴-$\frac{π}{4ω}$≤-$\frac{π}{2}$，且$\frac{3π}{4ω}$≥$\frac{π}{2}$，
求得 0＜ω≤$\frac{1}{2}$，∴ω_max=$\frac{1}{2}$，A錯誤；
∴f（x）=2$\sqrt{2}$cos（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$），
令$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z，解得f（x）的對稱軸是x=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，B錯誤；
令$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得f（x）的對稱中心是（2kπ+$\frac{π}{2}$，0），k∈Z，C錯誤；
x∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]時，$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{12}$]，f（x）是單調(diào)減函數(shù)，
其最小值為2$\sqrt{2}$cos$\frac{7π}{12}$=-$\sqrt{3}$+1，D正確．
故選：D．

點評 本題主要考查兩角和的余弦公式以及余弦函數(shù)的單調(diào)性問題，是綜合題．