Question

已知函數(shù)f（x）滿足下列條件：（1）函數(shù)f（x）定義域為[0，1]；（2）對于任意x∈[0，1]，f（x）≥0，且f（0）=0，f（1）=1；（3）對于滿足條件x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1的任意兩個數(shù)x₁，x₂，有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）．
（Ⅰ）證明：對于任意的0≤x≤y≤1，有f（x）≤f（y）；
（Ⅱ）證明：對于任意的0≤x≤1，有f（x）≤2x；
（Ⅲ）不等式f（x）≤1.9x對于一切x∈[0，1]都成立嗎？

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證對于任意的0≤x≤y≤1，有f（x）≤f（y），將y寫成y-x+x，利用f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）進行放縮即得．
（Ⅱ）欲證明：對于任意的0≤x≤1，有f（x）≤2x，利用反證法，先假設(shè)存在x₀∈（0，1]，使得f（x₀）＞2x₀，通過推出矛盾，從而得出假設(shè)不成立而得證；
（Ⅲ）先取函數(shù)f(x)=

0，0≤x≤ 1 2 1， 1 2 ＜x≤1.

驗證此函數(shù)符合題目中的（1），（2），（3）兩個條件，但是f（0.51）=1＞1.9×0.51=0.969．從而不等式f（x）≤1.9x并不對所有x∈[0，1]都成立．

解答：解：（Ⅰ）證明：對于任意的0≤x≤y≤1，
則0≤y-x≤1，∴f（y-x）≥0．
∴f（y）=f（y-x+x）≥f（y-x）+f（x）≥f（x）．
∴對于任意的0≤x≤y≤1，有f（x）≤f（y）．（5分）
（Ⅱ）由已知條件可得f（2x）≥f（x）+f（x）=2f（x），
∴當x=0時，f（0）=0≤2×0，
∴當x=0時，f（x）≤2x．
假設(shè)存在x₀∈（0，1]，使得f（x₀）＞2x₀，
則x₀一定在某個區(qū)間x0∈(

1

2k

，

1

2k-1

]上．
設(shè)x0∈(

1

2k

，

1

2k-1

]，
則f（2x₀）＞4x₀，f（4x₀）＞8x₀，┅，f（2^k-1x₀）＞2^kx₀．
由x0∈(

1

2k

，

1

2k-1

]；
可知

1

2

＜2k-1x0≤1，且2^kx₀＞1，
∴f（2^k-1x₀）≤f（1）=1，
又f（2^k-1x₀）＞2^kx₀＞1．
從而得到矛盾，因此不存在x₀∈（0，1]，使得f（x₀）＞2x₀．
∴對于任意的0≤x≤1，有f（x）≤2x．（10分）
（Ⅲ）取函數(shù)f(x)=

0，0≤x≤ 1 2 1， 1 2 ＜x≤1.

則f（x）顯然滿足題目中的（1），（2）兩個條件．
任意取兩個數(shù)x₁，x₂，使得x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，
若x1， x2∈[0，

1

2

]，
則f（x₁+x₂）≥0=f（x₁）+f（x₂）．
若x₁，x₂分別屬于區(qū)間[0，

1

2

]和(

1

2

，1]中一個，
則f（x₁+x₂）=1=f（x₁）+f（x₂），
而x₁，x₂不可能都屬于(

1

2

，1]．
綜上可知，f（x）滿足題目中的三個條件．
而f（0.51）=1＞1.9×0.51=0.969．
即不等式f（x）≤1.9x并不對所有x∈[0，1]都成立．（14分）

點評：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．