已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),短軸長為4,且有一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知經(jīng)過定點(diǎn)M(2,0)且斜率不為0的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn),試問在x軸上是否另存在一個(gè)定點(diǎn)P使得始終平分?若存在,求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

(Ⅰ) ;(Ⅱ) .

解析試題分析:(Ⅰ)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,先由已知條件“短軸長為”,求得,再由已知條件“有一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合”,求得,則,從而得到橢圓方程;(Ⅱ)設(shè)直線方程為:,與橢圓方程聯(lián)立方程組求得(※),假設(shè)存在定點(diǎn)使得始終平分,則有,將對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)代入,結(jié)合直線方程以及(※)化簡(jiǎn)求得,從而無論如何取值,只要就可保證式子成立,進(jìn)而得出點(diǎn)坐標(biāo).
試題解析:(Ⅰ)∵橢圓的短軸長為
,解得
又拋物線的焦點(diǎn)為,
,則,
∴所求橢圓方程為:
(Ⅱ)設(shè),代入橢圓方程整理得:
,假設(shè)存在定點(diǎn)使得始終平分,

①,
要使得①對(duì)于恒成立,則,
故存在定點(diǎn)使得始終平分,它的坐標(biāo)為
考點(diǎn):1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;2.拋物線的性質(zhì);3.根與系數(shù)的關(guān)系

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線,設(shè)點(diǎn),為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)(異于頂點(diǎn)),連結(jié)并延長交拋物線于點(diǎn),連結(jié)、并分別延長交拋物線于點(diǎn)、,連結(jié),設(shè)、的斜率存在且分別為、.

(1)若,,,求;
(2)是否存在與無關(guān)的常數(shù),是的恒成立,若存在,請(qǐng)將表示出來;若不存在請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知拋物線與直線相交于A、B 兩點(diǎn).
(1)求證:;
(2)當(dāng)的面積等于時(shí),求的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓.

(1)橢圓的短軸端點(diǎn)分別為(如圖),直線分別與橢圓交于兩點(diǎn),其中點(diǎn)滿足,且.
①證明直線軸交點(diǎn)的位置與無關(guān);
②若∆面積是∆面積的5倍,求的值;
(2)若圓:.是過點(diǎn)的兩條互相垂直的直線,其中交圓兩點(diǎn),交橢圓于另一點(diǎn).求面積取最大值時(shí)直線的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知雙曲線方程2x2-y2=2.
(1)求以A(2,1)為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在的直線方程;
(2)過點(diǎn)(1,1)能否作直線l,使l與雙曲線交于Q1,Q2兩點(diǎn),且Q1,Q2兩點(diǎn)的中點(diǎn)為(1,1)?如果存在,求出它的方程;如果不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,已知橢圓的長軸為AB,過點(diǎn)B的直線
軸垂直,橢圓的離心率,F為橢圓的左焦點(diǎn),且

(1)求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)P是此橢圓上異于A,B的任意一點(diǎn), 軸,H為垂足,延長HP到點(diǎn)Q,使得HP=PQ,連接AQ并延長交直線于點(diǎn),的中點(diǎn),判定直線與以為直徑的圓O位置關(guān)系。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)為,點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)。
(Ⅰ)試問在軸上是否存在不同于點(diǎn)的一點(diǎn),使得軸所在的直線所成的銳角相等,若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在說明理由。
(Ⅱ)若的面積為,求向量的夾角;

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

)如圖,橢圓、、、為橢圓的頂點(diǎn)

(Ⅰ)若橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為,最小值為,求橢圓方程;
(Ⅱ)已知:直線相交于兩點(diǎn)(不是橢圓的左右頂點(diǎn)),并滿足 試研究:直線是否過定點(diǎn)? 若過定點(diǎn),請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo),若不過定點(diǎn),請(qǐng)說明理由

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知圓,若橢圓的右頂點(diǎn)為圓的圓心,離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若存在直線,使得直線與橢圓分別交于兩點(diǎn),與圓分別交于兩點(diǎn),點(diǎn)在線段上,且,求圓的半徑的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案