Question

18．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線M的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=sinα\end{array}$，（α為參數(shù)），α∈[0，π]．若以該直角坐標(biāo)系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線N的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m（其中m為常數(shù)）
（Ⅰ）求曲線M與曲線N的普通方程；
（Ⅱ）若曲線M與曲線N有兩個公共點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由曲線M的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=sinα\end{array}$，（α為參數(shù)），α∈[0，π]．利用cos²α+sin²α=1可得普通方程，注意y的取值范圍．曲線N的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m（其中m為常數(shù)），展開可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐標(biāo)方程．
（ⅠI）由直線N與圓M相切時，$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$=1，取m=$\sqrt{2}$．直線經(jīng)過點（1，0）時，m=1．即可得出m的取值范圍．

解答 解：（I）由曲線M的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=sinα\end{array}$，（α為參數(shù)），α∈[0，π]．可得x²+y²=1（1≥y≥0）
曲線N的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m（其中m為常數(shù)），展開可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m，化為：x+y=m．
（ⅠI）由直線N與圓M相切時，$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$=1，取m=$\sqrt{2}$．
直線經(jīng)過點（1，0）時，m=1．
∵曲線M與曲線N有兩個公共點，∴m的取值范圍是[1，$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查了直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化、參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓相交相切問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．