Question

6．已知函數(shù)f（x）=2x³-3x²-12x
（1）求f（x）=2x³-3x²-12x的極值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=2x³-3x²-12x+a的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的值．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=6x²-6x-12=6（x+1）（x-2），令f′（x）=0，得x=-1，2．列出表格，由表知，當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）有極大值7，當(dāng)x=2時(shí)，f（x）有極小值-20．
（2）由（1）知當(dāng)x=-1時(shí)，g（x）有極大值a+7；當(dāng)x=2時(shí)，g（x）有極小值a-20．當(dāng)g（x）的極大值或極小值為0時(shí)，函數(shù)g（x）=2x³-3x²-12x+a的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，可得a+7=0或a-20=0．

解答 解：（1）f′（x）=6x²-6x-12=6（x+1）（x-2），令f′（x）=0，得x=-1，2．

x	（-∞，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函數(shù)+	7	減函數(shù)-	-20	增函數(shù)+

由表知，當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）有極大值7，當(dāng)x=2時(shí)，f（x）有極小值-20．
（2）

x	…	-2	-1	0	1	2	3	…
f（x）	…	-4	7	0	-13	-20	-9	…

由（1）知當(dāng)x=-1時(shí)，g（x）有極大值a+7；當(dāng)x=2時(shí)，g（x）有極小值a-20．
當(dāng)g（x）的極大值或極小值為0時(shí)，函數(shù)g（x）=2x³-3x²-12x+a的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即a=-7或a=20．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與圖象，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．