Question

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在坐標(biāo)軸上，離心率為

2

，且過(guò)點(diǎn)P（4，-

10

）．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若點(diǎn)M（3，m）在雙曲線上，求證：

MF1

•

MF2

=0；
（3）求△F₁MF₂的面積．

Answer 1

分析：（1）雙曲線方程為x²-y²=λ，點(diǎn)代入求出參數(shù)λ的值，從而求出雙曲線方程，
（2）先求出

MF1

•

MF2

的解析式，把點(diǎn)M（3，m）代入雙曲線，可得出

MF1

•

MF2

=0，
（3）求出三角形的高，即m的值，可得其面積．

解答：（1）解：∵e=

2

，∴可設(shè)雙曲線方程為x²-y²=λ．
∵過(guò)點(diǎn)（4，-

10

），∴16-10=λ，即λ=6．
∴雙曲線方程為x²-y²=6；
（2）證明：∵

MF1

=（-3-2

3

，-m），

MF2

=（2

3

-3，-m），
∴

MF1

•

MF2

=（-3-2

3

）×（2

3

-3）+m²=-3+m²，
∵M(jìn)點(diǎn)在雙曲線上，∴9-m²=6，即m²-3=0，
∴

MF1

•

MF2

=0．
（3）解：△F₁MF₂中|F₁F₂|=4

3

，由（2）知m=±

3

．
∴△F₁MF₂的F₁F₂邊上的高h(yuǎn)=|m|=

3

，∴S_△F1MF2=6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量的數(shù)量積公式，考查三角形面積的計(jì)算，屬于中檔題．