Question

（幾何證明選講選做題）如圖，為圓的直徑，為圓上一點(diǎn)，
和過(guò)的切線互相垂直，垂足為，過(guò)的切線交過(guò)的切線于，
交圓于，若，，則=        .

Answer 1

試題分析：解：連接AC、AB、OC，

∵PT與圓O相切于點(diǎn)C，∴OC⊥PT，同理可得BT⊥AB，四邊形OBTC中，∠OCT=∠OBT=90°，∴∠COB+∠CTB=180°，可得∠COB=180°-120°=60°，∵OC=OB，∴△OBC是等邊三角形，可得∠OBC=60°，∵AB是圓O的直徑，∴AC⊥BC，，Rt△ABC中，AB=4，可得AC=ABsin60°=2 ∵PC與圓O相切于點(diǎn)C，∴∠PCA=∠CBA=60°∵AP⊥PC，∴Rt△PAC中，PC=ACcos60°=∵PC與圓O相切于點(diǎn)C，PQB是圓O的割線，∴PQ•PB=PC²=3，故答案為：3
點(diǎn)評(píng)：本題借助于圓的切線和含有60°的直角三角形，求切線長(zhǎng)的值，著重考查了直角三角形中三角函數(shù)的定義、四邊形內(nèi)角和與圓中的比例線段等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題