Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-x+

1

x

．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，ln（1+

1

x

）＜

1

x

+

1

x+1

．
（3）證明：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

＞n²-n³（n∈N^*）．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,數(shù)列的求和

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)a分類分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷原函數(shù)的單調(diào)性；
（2）結(jié)合（1）中函數(shù)的單調(diào)性，得到f（x）=lnx-x+

1

x

在（0，+∞）上為減函數(shù)，然后由f（1+

1

x

）
＜f（1）證得函數(shù)不等式；
（3）利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式，再由歸納假設(shè)證明n=k+1時(shí)穿插運(yùn)用分析法．

解答： （1）解：∵f（x）=alnx-x+

1

x

，
∴f′(x)=

a

x

-1-

1

x2

=

-(x2-ax+1)

x2

，
若a≤2，f′（x）≤0，函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為減函數(shù)；
若a＞2，當(dāng)x∈(0，

a- a2-4

2

)，x∈(

a+ a2-4

2

，+∞)時(shí)，f′（x）＜0，
當(dāng)x∈(

a- a2-4

2

，

a+ a2-4

2

)時(shí)，f′（x）＞0．
∴當(dāng)a≤2時(shí)，函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)f（x）的減區(qū)間為(0，

a- a2-4

2

)，(

a+ a2-4

2

，+∞)，
增區(qū)間為(

a- a2-4

2

，

a+ a2-4

2

)；
（2）證明：由（1）知，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lnx-x+

1

x

在（0，+∞）上為減函數(shù)，
∴f（1+

1

x

）＜f（1），即ln(1+

1

x

)-(1+

1

x

)+

1

1+ 1 x

＜ln1-1+1=0，
即ln(1+

1

x

)＜1+

1

x

-

x

x+1

＜1+

1

x

+

1

x+1

；
（3）證明：當(dāng)n=1時(shí)，不等式左邊=

2

2

，右邊=0，左邊大于右邊，不等式成立；
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

k(k+1)

＞k²-k³，
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

k(k+1)

+

1

(k+1)(k+2)

＞k2-k3+

1

(k+1)(k+2)

．
要證k2+k3+

1

(k+1)(k+2)

＞(k+1)2-(k+1)3，只需證

1

(k+1)(k+2)

＞-3k2-k，
此式顯然成立，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立，
綜上，對(duì)于任意n∈N^*不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式，訓(xùn)練了利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式，是壓軸題．