Question

如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且；
（Ⅰ）證明：無(wú)論取何值，總有；
（Ⅱ）當(dāng)取何值時(shí)，直線與平面所成的角最大？并求該角取最大值時(shí)的正切值；
（Ⅲ）是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成的二面角為30º，若存在，試確定點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）略
（2）∴當(dāng)＝時(shí)，θ取得最大值，此時(shí)sinθ=,cosθ=,tanθ="2"
（3）∴不存在點(diǎn)P使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為30º

本題主要考查了直線與平面所成的角，以及直線與平面垂直的性質(zhì)，考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．
（1）以AB，AC，AA₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，分別求出 PN,AM
的坐標(biāo)，要證PN⊥AM，只需求證它們的數(shù)量積為零即可；
（2）過(guò)P作PE⊥AB于E，連接EN，則∠PNE為直線PN與平面ABC所成的角θ，求出此角的正切值，然后研究其最大值即可求出λ的值．
(3)假設(shè)存在，則，設(shè)是平面PMN的一個(gè)法向量,那么利用向量的坐標(biāo)得到參數(shù)的值，進(jìn)而判定方程有無(wú)解，說(shuō)明結(jié)論。