Question

給出下列命題：
①若a＞0，b＞0，c＞0，a+b+c=1，則a²+b²+c²≥

1

3

；
②已知x＞0，y＞0，

1

x

+

4

y

=1，若不等式m²-8m-x-y＜0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（-1，9）；
③不等式1＜|3x+4|≤4的解集為（-1，0]；
④關于x的不等式|x-1|+|x+2|＜m的解集不是空集，則m＞3．
其中正確的命題個數(shù)為（　�。�

• A、4個
• B、3個
• C、2個
• D、1個

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：①，a＞0，b＞0，c＞0，a+b+c=1⇒（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc，利用基本不等式，可得a²+b²+c²≥

1

3

，可判斷①；
②，由x＞0，y＞0，

1

x

+

4

y

=1，利用乘“1”法可求得（x+y）_min=9，m²-8m＜x+y恒成立?m²-8m＜（x+y）_min=9恒成立，解之即可判斷②；
③，解絕對值不等式1＜|3x+4|≤4，可判斷③；
④，利用絕對值不等式的幾何意義，易求不等式|x-1|+|x+2|≥3，依題意，可判斷④．

解答： 解：①∵a＞0，b＞0，c＞0，a+b+c=1，
∴1=（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc≤a²+b²+c²+（a²+b²）+（a²+c²）+（b²+c²）=3（a²+b²+c²），
∴a²+b²+c²≥

1

3

（當且僅當a=b=c=

1

3

時取“=”），故①正確；
②∵x＞0，y＞0，

1

x

+

4

y

=1，
∴x+y=（x+y）（

1

x

+

4

y

）=1+

y

x

+

4x

y

+4≥5+2

y x • 4x y

=9，即（x+y）_min=9．
∵不等式m²-8m-x-y＜0恒成立，
∴m²-8m＜x+y恒成立，即m²-8m＜（x+y）_min=9，解得：-1＜m＜9，
∴實數(shù)m的取值范圍為（-1，9），故②正確；
③由1＜|3x+4|≤4得：-4≤3x+4＜-1或1＜3x+4≤4，解得-

8

3

≤m＜-

5

3

或-1＜m≤0，
故不等式1＜|3x+4|≤4的解集為[-

8

3

，-

5

3

）∪（-1，0]，故③不正確；
④∵|x-1|+|x+2|≥|（x-1）-（x+2）|=3，
∴關于x的不等式|x-1|+|x+2|＜m的解集不是空集，則m＞3，故④正確．
綜上所述，正確的命題個數(shù)為3個，
故選：B．

點評：本題考查基本不等式的性質(zhì)與應用，考查恒成立問題與絕對值不等式的解法，考查運算求解能力，屬于中檔題．