Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

2011 x+1+2010

2011 x+1

+sinx   x∈[-

π

2

，

π

2

]的最大值為M，最小值為N，那么M+N=

4021

．

Answer 1

分析：先把函數(shù)f（x）=

2011 x+1+2010

2011 x+1

+sinx變形為f（x）=2011-

1

2011x+1

+sinx，判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)在定義域上為增函數(shù)以及函數(shù)的定義域就可求出函數(shù)的最大值與最小值，進而求出最大值與最小值之和．

解答：解：函數(shù)f（x）=

2011 x+1+2010

2011 x+1

+sinx=

2011×2011x+2010

2011 x+1

+sinx=

2011×(2011x+1)-1

2011 x+1

+sinx
=2011-

1

2011x+1

+sinx
∵y=2011^x在x∈[-

π

2

，

π

2

]上為增函數(shù)，∴y=

1

2011x+1

在x∈[-

π

2

，

π

2

]上為減函數(shù)
∴y=-

1

2011x+1

在x∈[-

π

2

，

π

2

]上為增函數(shù)，
而y=sinx在x∈[-

π

2

，

π

2

]上也為增函數(shù)
∴f（x）=2011-

1

2011x+1

+sinx在x∈[-

π

2

，

π

2

]上為增函數(shù)
∴M=f（

π

2

），N=f（-

π

2

）
∴M+N=f（

π

2

）+f（-

π

2

）=4022-

1

2011 π 2 +1

-

1

2011- π 2 +1

=4022-（

1

2011 π 2 +1

+

2011 π 2

2011 π 2 +1

）=4021
故答案為 4021

點評：本題主要考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大值與最小值，關(guān)鍵是把函數(shù)化簡成可以判斷單調(diào)性的形式．