Question

設(shè)平面向量

m

=（cos²

x

2

，

3

sinx），

n

=（2，1），函數(shù)f（x）=

m

•

n

．
（1）當(dāng)x∈[-

π

3

，

π

2

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角ABC對(duì)應(yīng)一邊分別是a，b，c，若f（c-

π

6

）=

2

+1，且b=4，△ABC的面積等于b，求c的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,余弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得函數(shù)f（x）并化簡(jiǎn)，然后結(jié)合x的范圍求得函數(shù)f（x）的取值范圍；
（2）化簡(jiǎn)f（c-

π

6

）=

2

+1得可得sinC=

2

2

，△ABC的三個(gè)內(nèi)角ABC都為銳角，故cosC=

2

2

，再據(jù)已知可求的a的值，從而根據(jù)余弦定理即可求出c的值．

解答： 解：（1）∵

m

=（cos²

x

2

，

3

sinx），

n

=（2，1），
∴f（x）=（cos²

x

2

，

3

sinx）•（2，1）
=2cos²

x

2

+

3

sinx
=cosx+

3

sinx+1
=2sin（x+

π

6

）+1．
因?yàn)閤+

π

6

∈[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，k∈Z，⇒x∈[2kπ+

π

3

，2kπ+

4π

3

]k∈Z，
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[2kπ+

π

3

，2kπ+

4π

3

]（k∈Z）；
（2）f（C-

π

6

）=2sinC+1=

2

+1，可得sinC=

2

2

，△ABC的三個(gè)內(nèi)角ABC都為銳角，故cosC=

2

2

，
S_△ABC=b=

1

2

×a×4×sinC=4，可得a=2

2

，
由余弦定理知：c²=a²+b²-2abcosC=8+16-16=8，
故可求得c=2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了三角函數(shù)中的恒等變換的應(yīng)用，訓(xùn)練了由已知三角函數(shù)的值求其它三角函數(shù)值，是中檔題．