Question

已知函數(shù)是奇函數(shù)，f（x）=lg（10^x+1）+mx是偶函數(shù)．
（1）求m+n的值；
（2）設(shè)，若g（x）＞h[lg（2a+1）]對任意x≥1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數(shù)g（x）是奇函數(shù)，且在x=0處有意義，得g（0）=0，解得m，f（x）是偶函數(shù)利用f（-x）=f（x）解得n，從而得m+n的值．
（2）g（x）＞h[lg（2a+1）]對任意x≥1恒成立即lg（2a+2）小于2^x-2^-x的最小值，利用單調(diào)性的定義探討該函數(shù)的單調(diào)性即可的其最小值，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，解不等式組即可的a的范圍．
解答：解：（1）∵g（x）為奇函數(shù)，且定義域為R∴g（0）==0，解得n=1
∵f（x）=lg（10^x+1）+mx是偶函數(shù)．
∴f（-x）=lg（10^-x+1）-mx=-mx=lg（10^x+1）-x-mx=lg（10^x+1）-（m+1）x
=f（x）=lg（10^x+1）+mx∴m=-（m+1），∴m=-∴m+n=

（2）∵=lg（10^x+1） 
∴h[lg（2a+1）]=lg[10^lg（2a+1）+1]=lg（2a+2）
∵=2^x-2^-x
∴g（x）＞h[lg（2a+1）]對任意x≥1恒成立即lg（2a+2）＜2^x-2^-x對任意x≥1恒成立
取x₁＞x₂≥1，則g（x₁）-g（x₂）=（）＞0
即當(dāng)x≥1時，g（x）是增函數(shù)，∴g（x）_min=f（1）=
由題意得2a+2＜，2a+1＞0，2a+2＞0，
解得-＜a＜5-1
即a的取值范圍是{a|-＜a＜5-1}
點評：本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，單調(diào)性的判斷和證明，在探討不等式恒成立時注意條件的轉(zhuǎn)化，考慮定義域．是中檔題．