Question

已知圓C1：x2+y2-4x-2y-5=0，圓C2：x2+y2+2x-2y-14=0．
（1）試判斷兩圓的位置關(guān)系；
（2）直線ι過點(diǎn)（6，3）與圓C₁相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=2

6

，求直線ι的方程．

Answer 1

分析：（1）把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出圓心和半徑，根據(jù)兩圓的圓心距等于3，大于半徑之差而小于半徑之和，可得兩個(gè)圓相交．
（2）分直線t的斜率不存在時(shí)，經(jīng)過檢驗(yàn)不滿足條件．當(dāng)斜率存在時(shí)，根據(jù)弦長(zhǎng)AB=2

6

，求出弦心距d，再由點(diǎn)到直線的距離公式可得d，由此求得斜率的值，即可得到直線t的方程．

解答：解：（1）由于 圓C1：x2+y2-4x-2y-5=0，即 （x-2）²+（y-1）²=10，表示以C₁（2，1）為圓心，
半徑等于

10

的圓．
C2：x2+y2+2x-2y-14=0，即 （x+1）²+（y-1）²=16，表示以C₂（-1，1）為圓心，半徑等于4的圓．
由于兩圓的圓心距等于

32+0

=3，大于半徑之差而小于半徑之和，故兩個(gè)圓相交．
（2）直線ι過點(diǎn)（6，3）與圓C₁相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=2

6

，當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，直線ι的方程為x=6，
此時(shí)直線t與圓C₁相離，不滿足條件．
當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線ι的方程為y-3=k（x-6），即 kx-y+3-6k=0，
由弦長(zhǎng)公式可得圓心到直線t的距離d=

10-6

=2，
再由點(diǎn)到直線的距離公式可得d=2=

|2k-1+3-6k|

k2+1

，解得 k=0，或 k=

4

3

．
故直線t的方程為 y=3或

4

3

x-y-5=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．