Question

△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a、b、c，設(shè)向量

p

=（a+b，c），

q

=（a-c，a-b），若

p

∥

q

，
（1）求角B的大��；
（2）求sinA•sinC的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,平行向量與共線向量

專題：解三角形

分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)，以及兩向量平行的條件列出關(guān)系式，再利用余弦定理表示出cosB，把得出關(guān)系式代入求出cosB的值，即可確定出B的度數(shù)；
（2）由sinC=sin（A+B），把B代入并利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，代入sinAsinC中，整理后利用正弦函數(shù)的值域即可確定出最大值．

解答： 解：（1）∵

p

=（a+b，c），

q

=（a-c，a-b），

p

∥

q

，
∴（a+b）（a-c）-c（a-b）=0，
整理得：a²-b²+c²-ac=0，即a²+c²-b²=ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，
∵B∈（0，π），
∴B=

π

3

；
（2）∵sinC=sin（A+B）=sin（A+

π

3

）=

1

2

sinA+

3

2

cosA，
∴sinAsinC=sinA（

1

2

sinA+

3

2

cosA）=

1

2

（sin²A+

3

sinAcosA）=

1

2

（

1-cos2A

2

+

3

2

sin2A）=

1

2

sin（2A-

π

6

）+

1

4

，
∵0＜2A＜

4π

3

，
∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

7π

6

，
則當(dāng)A=

π

3

時(shí)，sinAsinC有最大值為

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及正弦函數(shù)的值域，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．