Question

12．等差數(shù)列{a_n}的公差為d，關于x的不等式${a_1}{x^2}+（{\fracllspjfi{2}-{a_1}}）x+c≥0$的解集為$[{\frac{1}{3}，\frac{4}{5}}]$，則使數(shù)列{a_n}的前n項和S_n最小的正整數(shù)n的值為4．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中等差數(shù)列{a_n}的公差為d，關于x的不等式${a_1}{x^2}+（{\frac4y8riv7{2}-{a_1}}）x+c≥0$的解集為$[{\frac{1}{3}，\frac{4}{5}}]$，根據(jù)不等式解析的形式及韋達定理，判斷出數(shù)列的首項為負，公差為正，并得到首項與公差之間的關系，進而判斷出數(shù)列項的符號變化分界點，則答案可求．

解答 解：∵不等式${a_1}{x^2}+（{\fracmzjfihu{2}-{a_1}}）x+c≥0$的解集為$[{\frac{1}{3}，\frac{4}{5}}]$，
∴$\frac{1}{3}+\frac{4}{5}=\frac{{a}_{1}-\fracovfruuf{2}}{{a}_{1}}$，且a₁＜0，
即${a}_{1}=-\frac{15}{4}d＜0$，則${a}_{5}={a}_{1}+4d=-\frac{15}{4}d+4d=\fracfxlmakg{4}＞0$，
∴使數(shù)列{a_n}的前n項和S_n最小的正整數(shù)n的值為4．
故答案為：4．

點評 本題考查的知識是數(shù)列的函數(shù)特性，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關系判斷出公差為負，并得到首項與公差之間的關系是解答本題的關鍵，是中檔題．