【題目】如圖，在中，，點在線段上.過點作交于點，將沿折起到的位置（點與重合），使得.

（Ⅰ）求證：.

（Ⅱ）試問：當(dāng)點在線段上移動時，二面角的平面角的余弦值是否為定值？若是，求出其定值；若不是，說明理由.

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)答案見解析.

【解析】分析：（1）由已知條件，結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，即可得到.

（2）過點作，則，，兩兩垂直，以B為坐標(biāo)原點，以， 的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，應(yīng)用空間向量，分別求得兩平面的法向量，計算兩平面法向量夾角，證明點在線段上移動時，二面角的平面角的余弦值為定值，且定值為.

詳解：證明：（Ⅰ）在中，

因為，所以，所以，，

又因為，平面，所以平面.

又因為平面，所以.

（Ⅱ）在平面內(nèi)，過點作于點，

由（Ⅰ）知平面，所以，

又因為，平面，所以平面.

在平面內(nèi)過點作直線，則平面.

如圖所示，以為坐標(biāo)原點，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，

又因為，

所以，.

在中，，

所以，，所以，

所以，，.

從而，.

設(shè)是平面的一個法向量，

所以，即，

所以，

取，得是平面的一個法向量.

又平面的一個法向量為，

設(shè)二面角的平面角為，

則 .

因此當(dāng)點在線段上移動時，二面角的平面角的余弦值為定值，且定值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費（單位：萬元）對年銷售量（單位：）的影響，對近年的年宣傳費和年銷售量作了初步統(tǒng)計和處理，得到的數(shù)據(jù)如下：

年宣傳費（單位：萬元）

年銷售量（單位：）

，.

（1）在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖；

（2）求出關(guān)于的線性回歸方程；

（3）若公司計劃下一年度投入宣傳費萬元，試預(yù)測年銷售量的值.

參考公式

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圍建一個面積為360m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進(jìn)出口，如圖所示，已知舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m，設(shè)利用的舊墻的長度為x（單位：元）。

（Ⅰ）將y表示為x的函數(shù)；

（Ⅱ）試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用。

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【題目】交強(qiáng)險是車主必須為機(jī)動車購買的險種，若普通6座以下私家車投保交強(qiáng)險第一年的費用（基準(zhǔn)保費）統(tǒng)一為元，在下一年續(xù)保時，實行的是費率浮動機(jī)制，保費與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費率也就是越高，具體浮動情況如下表：

交強(qiáng)險浮動因素和浮動費率比率表

浮動因素

浮動比率

上一個年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

下浮10%

上兩個年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

下浮20%

上三個及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

下浮30%

上一個年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故

0%

上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故

上浮10%

上一個年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故

上浮30%

某機(jī)構(gòu)為了 某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機(jī)抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況，統(tǒng)計得到了下面的表格：

類型

數(shù)量

10

5

5

20

15

5

以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問題：

（1）按照我國《機(jī)動車交通事故責(zé)任強(qiáng)制保險條例》汽車交強(qiáng)險價格的規(guī)定， ，記為某同學(xué)家的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時的費用，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（數(shù)學(xué)期望值保留到個位數(shù)字）

（2）某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強(qiáng)險保費高于基本保費的車輛記為事故車，假設(shè)購進(jìn)一輛事故車虧損5000元，一輛非事故車盈利10000元：

①若該銷售商購進(jìn)三輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求這三輛車中至多有一輛事故車的概率；

②若該銷售商一次購進(jìn)100輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求他獲得利潤的期望值．

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【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，∠PAC=∠BAC=90°，PA=PB，點D，F分別為BC，AB的中點．

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【題目】設(shè)函數(shù)，給定數(shù)列，其中,.

（1）若為常數(shù)數(shù)列，求a的值；

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（3）設(shè)，數(shù)列的前n項和為，當(dāng)a=1時，求證：.

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（1）給定一組變量P1(1,4),P2(2,5),p3(3,6),p4(4,5.5),p5(5,5.6),p6(6,5.8),對于函數(shù)與函數(shù)，試?yán)枚x求Q1,Q2的值，并判斷哪一個更適合作為點PI(xi,yi)(i=1,2,3…6)中的Y與X之間的擬合函數(shù);

（2）若一組變量的散點圖符合圖象，試?yán)孟卤碇械挠嘘P(guān)數(shù)據(jù)與公式求y對x的回歸方程, 并預(yù)測當(dāng)時，的值為多少.

表中的

（附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為）

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