Question

橢圓C₁的中心在原點，過點（0，），且右焦點F₂與圓C₂：（x-1）²+y²=的圓心重合．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）若點P是橢圓上的動點，EF是圓C₂的任意一條直徑，求的最大值．
（3）過點F₂的直線l交橢圓于M、N兩點，問是否存在這樣的直線l，使得以MN為直徑的圓過橢圓的左焦點F₁？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由；

Answer 1

解：（1）依題意得F₂（1，0），所以c=1，又過點（0，），
因此a²=b²+c²=4．
故所求的橢圓C₁的方程為：，
2）
=
=-，
∵∈[1，3]，∴的最大值為，
（3）由（1）知F₁（-1，0）以MN為直徑的圓過F₁?，
①若直線l斜率不存在．易知N（1，），M（1，-）
=合題意，
若直線l斜率k存在，可設(shè)直線為y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
=（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂，
=（1+k²）x₁x₂+（1-k²）（x₁+x₂）+1+k² （*）
由，知（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴，，代入（*），
得=，
由，得k=，
所以存在滿足條件的直線，方程為：．
分析：（1）依題意得c=1，a²=b²+c²=4．由此可求出橢圓C₁的方程．
2）=-，由此可求出的最大值．
（3）由題意知F₁（-1，0）以MN為直徑的圓過F₁?，設(shè)直線為y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），=（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+（1-k²）（x₁+x₂）+1+k²，由，知（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，再由根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．
點評：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和綜合應(yīng)用，難度較大，解題時要注意挖掘隱含條件，認(rèn)真審題，利用根與系數(shù)的關(guān)系，仔細(xì)解答．