Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-a）^2}+e，x≤2\\ \frac{x}{1nx}+a+10，x＞2\end{array}$，（e是自然對數(shù)的底數(shù)），若f（2）是函數(shù)f（x）的最小值，則a的取值范圍是（　�。�

• A． [-1，6]
• B． [1，4]
• C． [2，4]
• D． [2，6]

Answer 1

分析 x≤2時，函數(shù)的對稱軸為x=a，可確定a≥2，再利用f（e）是函數(shù)的極小值，f（e）≥f（2），即可求出a 的范圍．

解答 解：x≤2時，函數(shù)的對稱軸為x=a，∵f（2）是函數(shù)f（x）的最小值，∴a≥2．
x＞2，f（x）=$\frac{x}{lnx}$+a+10，f′（x）=$\frac{lnx-1}{l{n}^{2}x}$，x∈（2，e），f′（x）＜0，x∈（2，+∞），f′（x）＞0，∴f（e）是函數(shù)的極小值，
∵f（2）是函數(shù)f（x）的最小值，
∴f（e）≥f（2），∴1≤a≤6，
∴1≤a≤6．
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)的最值，考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．