Question

13．設(shè)點P為公共焦點F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）的橢圓和雙曲線的一個交點，且cos∠F₁PF₂=$\frac{3}{5}$，已知橢圓的長軸長是雙曲線實軸長的4倍，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 2
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)橢圓半長軸與雙曲線的半實軸分別為a₁，a₂，半焦距為c．設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，不妨設(shè)m＞n，由橢圓與雙曲線的定義可得：m+n=2a₁，m-n=2a₂．又4c²=m²+n²-2mncos∠F₁PF₂，cos∠F₁PF₂=$\frac{3}{5}$，即可得出雙曲線的離心率．

解答 解：設(shè)橢圓與雙曲線的半長軸分別為a₁，a₂，半焦距為c，e₂=$\frac{c}{{a}_{2}}$．
設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，不妨設(shè)m＞n，
則m+n=2a₁，m-n=2a₂．
∴m²+n²=2a₁²+2a₂²，mn=a₁²-a₂²，
由余弦定理可得4c²=m²+n²-2mncos∠F₁PF₂，
∴4c²=2a₁²+2a₂²-2（a₁²-a₂²）×$\frac{3}{5}$．
化為：5c²=a₁²+4a₂²，
由題意可得a₁=4a₂，
即有5c²=16a₂²+4a₂²，
即為c²=4a₂²，
可得雙曲線的離心率為e₂=$\frac{c}{{a}_{2}}$=2．
故選：B．

點評 本題考查了橢圓與雙曲線的定義、標準方程及其性質(zhì)、余弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．