Question

3．設(shè)集合A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）]=x}，設(shè)f（x）=x²-（2a-1）x+a²（常數(shù)a∈R），求證：A=B．

Answer 1

分析 分別解方程f（x）-x=（x-a）²=0和[f（x）]²-f（x）=[f（x）-a]²⇒[（x-a）²+x-a]²+（x-a）²=0，即可發(fā)現(xiàn)兩方程的解相同，即可得證明兩個(gè)集合相等，

解答 證明：根據(jù)題意，由f（x）=x²-（2a-1）x+a²，
方程f（x）=x，即x²-（2a-1）x+a²=x，
變形可得（x-a）²=0，
即x=a；
方程f（x）-x=（x-a）²=0的解為x=a，故A={a}；
而方程f[f（x）]=x的解是集合B的元素，
即[f（x）]²-f（x）=[f（x）-a]²⇒[（x-a）²+x-a]²+（x-a）²=0．
（x-a）²[（x-a+1）²+1]=0⇒x=a，所以B={a}．
故A=B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查集合相等的證明，關(guān)鍵是理解集合的意義以及表示法．