Question

2．設a，b，c是某三角形的三邊長，證明a²（b+c-a）+b²（c+a-b）+c²（a+b-c）≤3abc．

Answer 1

分析 不妨設a≥b≥c，通過排序不等式推出a²（b+c-a）+b²（c+a-b）+c²（a+b-c）≤ba（b+c-a）+cb（c+a-b）+ac（a+b-c），a²（b+c-a）+b²（c+a-b）+c²（a+b-c）≤ca（b+c-a）+ab（c+a-b）+bc（a+b-c）即可推出結果．

解答 證明：不妨設a≥b≥c，可得ac-bc≤a²-b²，即a（b+c-a）≤b（c+a-b），
容易驗證a（b+c-a）≤b（c+a-b）≤c（a+b-c），
由排序不等式可得a²（b+c-a）+b²（c+a-b）+c²（a+b-c）≤ba（b+c-a）+cb（c+a-b）+ac（a+b-c），①
及a²（b+c-a）+b²（c+a-b）+c²（a+b-c）≤ca（b+c-a）+ab（c+a-b）+bc（a+b-c），②
①+②并化簡即得a²（b+c-a）+b²（c+a-b）+c²（a+b-c）≤3abc．

點評 本題考查排序不等式的應用，不等式的證明，考查邏輯推理能力．