Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=2BC，E，F(xiàn)，E₁分別是棱AA₁，BB₁，A₁B₁的中點．
（1）求證：CE∥平面C₁E₁F；
（2）求證：平面C₁E₁F⊥平面CEF．

Answer 1

證明：（1）取CC₁的中點G，連接B₁G交C₁F于點F₁，連接E₁F₁，A₁G，F(xiàn)G，
∵F是BB₁的中點，BCC₁B₁是矩形，
∵四邊形FGC₁B₁也是矩形，
∴FC₁與B₁G相互平分，即F₁是B₁G的中點．
又E₁是A₁B₁的中點，∴A₁G∥E₁F₁．
又在長方體中，AA₁綊CC₁，E，G分別為AA₁，CC₁的中點，
∴A₁E綊CG，∴四邊形A₁ECG是平行四邊形，
∴A₁G∥CE，∴E₁F₁∥CE．
∵CE?平面C₁E₁F，E₁F₁?平面C₁E₁F，
∴CE∥平面C₁E₁F．
（2）∵長方形BCC₁B₁中，BB₁=2BC，F(xiàn)是BB₁的中點，
∴△BCF、△B₁C₁F都是等腰直角三角形，
∴∠BFC=∠B₁FC₁=45°，
∴∠CFC₁=180°-45°-45°=90°，
∴C₁F⊥CF．
∵E，F(xiàn)分別是矩形ABB₁A₁的邊AA₁，BB₁的中點，
∴EF∥AB．
又AB⊥平面BCC₁B₁，又C₁F?平面BCC₁B₁，
∴AB⊥C₁F，∴EF⊥C₁F．
又CF∩EF=F，∴C₁F⊥平面CEF．
∵C₁F?平面C₁E₁F，∴平面C₁E₁F⊥平面CEF．
分析：（1）要求證：CE∥平面C₁E₁F，取CC₁的中點G，連接B₁G交C₁F于點F₁，連接E₁F₁，A₁G，F(xiàn)G，證明E₁F₁∥CE即可；
（2）要證：平面C₁E₁F⊥平面CEF，證明C₁F⊥CF，EF⊥C₁F即可．
點評：本題考查直線與平面平行和垂直的判定，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．