Question

14．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且短軸長為2，離心率等于$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若$\overrightarrow{MA}={λ_1}\overrightarrow{AF}，\overrightarrow{MB}={λ_2}\overrightarrow{BF}$，求證：λ₁+λ₂為定值．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)出橢圓方程，并得到b=1，結(jié)合橢圓的離心率及隱含條件列式求得a，則橢圓C的方程可求；
（2）設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程是y=k（x-2）．將直線l的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0．然后利用根與系數(shù)的關(guān)系證明λ₁+λ₂為定值．

解答 （1）解：由題意設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，
則2b=2，b=1，又$\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{4}{5}$，
∵a²=b²+c²，∴可得a²=5．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1$；
（2）證明：設(shè)A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，y₀）．
又易知F點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．
顯然直線l存在的斜率，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程是y=k（x-2）．
將直線l的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{20{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{20{k}^{2}-5}{1+5{k}^{2}}$．
又∵$\overrightarrow{MA}={λ_1}\overrightarrow{AF}，\overrightarrow{MB}={λ_2}\overrightarrow{BF}$，將各點(diǎn)坐標(biāo)代入得${λ}_{1}=\frac{{x}_{1}}{2-{x}_{1}}$，${λ}_{2}=\frac{{x}_{2}}{2-{x}_{2}}$．
∴${λ}_{1}+{λ}_{2}=\frac{{x}_{1}}{2-{x}_{1}}+\frac{{x}_{2}}{2-{x}_{2}}$=$\frac{2（{x}_{1}+{x}_{2}）-2{x}_{1}{x}_{2}}{4-2（{x}_{1}+{x}_{2}）-{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2•\frac{20{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}-2\frac{20{k}^{2}-5}{1+5{k}^{2}}}{4-2•\frac{20{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}-\frac{20{k}^{2}-5}{1+5{k}^{2}}}$=-10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的綜合問題，其中根據(jù)已知條件計(jì)算出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解答本題的關(guān)鍵，是中檔題．