Question

【題目】如圖，在圓心角為，半徑為的扇形鐵皮上截取一塊矩形材料，其中點(diǎn)為圓心，點(diǎn)在圓弧上，點(diǎn)在兩半徑上，現(xiàn)將此矩形鐵皮卷成一個(gè)以為母線的圓柱形鐵皮罐的側(cè)面(不計(jì)剪裁和拼接損耗)，設(shè)矩形的邊長(zhǎng)，圓柱形鐵皮罐的容積為.

（1）求圓柱形鐵皮罐的容積關(guān)于的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，才使做出的圓柱形鐵皮罐的容積最大？最大容積是多少？ (圓柱體積公式：，為圓柱的底面枳，為圓柱的高）

Answer 1

【答案】（1）；（2），.

【解析】分析：（1）先利用勾股定理可得OA,根據(jù)周長(zhǎng)公式得半徑，再根據(jù)圓柱體積公式求V(x)，最后根據(jù)實(shí)際意義確定定義域，（2）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律，確定函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而得函數(shù)最值.

詳解：（1）連接OB，在Rt△OAB中，由AB=x，利用勾股定理可得OA＝，

設(shè)圓柱底面半徑為r，則＝2πr，

即4＝3600－，所以V(x)＝π＝π··x＝，

即鐵皮罐的容積為V(x)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為V(x)＝，定義域?yàn)?0，60).

（2）由V ′(x)＝＝0，x∈(0，60)，得x＝20．

列表如下：

x	(0，20)	20	(20，60)
V ′(x)	＋	0	－
V(x)	↗	極大值V(20)	↘

所以當(dāng)x＝20時(shí)，V(x)有極大值，也是最大值為.

答：當(dāng)x為20 cm時(shí)，做出的圓柱形鐵皮罐的容積最大，最大容積是.