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已知中心在原點的雙曲線的一個焦點是，一條漸近線的方程是。
（1）求雙曲線的方程；
（2）若以為斜率的直線與雙曲線相交于兩個不同的點，且線段的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求的取值范圍。

（1）；(2)的取值范圍是

解析試題分析：（1）本題較易，注意利用已知條件建立方程組解得，
即得所求.
（2）從確定三角形的面積表達式入手，建立的不等式
.通過設直線的方程為，建立方程組并整理，建立的不等關系；
由根與系數的關系可知線段的中點坐標滿足，，
得到線段的垂直平分線的方程為，
求得此直線與軸，軸的交點坐標分別為，，
從而利用，整理得，，
將上式代入的不等關系式，得到的不等式.
試題解析：（1）設雙曲線的方程為，
由題設得解得，
所以雙曲線方程為.
（2）設直線的方程為，點的坐標滿足方程組，整理得，此方程有兩個不等實根，
于是且，
整理得......③
由根與系數的關系可知線段的中點坐標滿足，，
從而線段的垂直平分線的方程為，
此直線與軸，軸的交點坐標分別為，，
由題設可得，整理得，，
將上式代入③式得，
整理得，，解得或，
所以的取值范圍是
考點：雙曲線的標準方程、幾何性質，直線與圓錐曲線的位置關系，三角形面積公式.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的中心在原點，焦點在軸上，焦距為2，離心率為
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線經過點（0,1），且與橢圓C交于兩點，若，求直線的方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形的面積為．
(Ⅰ）求橢圓的方程；
(Ⅱ）已知動直線與橢圓相交于、兩點． ①若線段中點的橫坐標為，求斜率的值；②若點，求證：為定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖示：已知拋物線的焦點為，過點作直線交拋物線于、兩點，經過、兩點分別作拋物線的切線、，切線與相交于點.

（1）當點在第二象限，且到準線距離為時，求；
（2）證明：.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設橢圓：的左、右焦點分別是、，下頂點為，線段的中點為（為坐標原點），如圖.若拋物線：與軸的交點為，且經過、兩點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設，為拋物線上的一動點，過點作拋物線的切線交橢圓于、兩點，求面積的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知圓和圓.
（1）若直線過點，且被圓截得的弦長為，求直線的方程；
（2）設為平面上的點，滿足：存在過點的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點的坐標.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設雙曲線以橢圓的兩個焦點為焦點,且雙曲線的一條漸近線是，
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線與雙曲線交于不同兩點,且都在以為圓心的圓上,求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的一個頂點為，焦點在軸上，若右焦點到直線的距離為3.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設直線與橢圓相交于不同的兩點、，當時，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的兩個焦點和上下兩個頂點是一個邊長為2且∠F1B1F2為的菱形的四個頂點.
（1）求橢圓的方程；
（2）過右焦點F2 ，斜率為（）的直線與橢圓相交于兩點，A為橢圓的右頂點，直線、分別交直線于點、，線段的中點為，記直線的斜率為.求證:為定值.

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