Question

在平面直角坐標系xOy中，原點為O，拋物線C的方程為x²=4y，線段AB是拋物線C的一條動弦．
（1）求拋物線C的準線方程和焦點坐標F；
（2）求

OA

•

OB

=-4，求證：直線AB恒過定點；
（3）當|AB|=8時，設(shè)圓D：x²+（y-1）²=r²（r＞0），若存在且僅存在兩條動弦AB，滿足直線AB與圓D相切，求半徑r的取值范圍？

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用拋物線C的方程為x²=4y，可求拋物線C的準線方程和焦點坐標F；
（2）設(shè)直線AB方程為y=kx+b，代入拋物線方程，利用

OA

•

OB

=-4，求出b，即可證明直線AB恒過定點；
（3）當|AB|=8時，確定r，k的關(guān)系，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論．

解答： （1）解：拋物線C的方程為x²=4y中2p=4，

p

2

=1，
∴準線方程：y=-1，焦點坐標：F（0，1）（4分）
（2）證明：設(shè)直線AB方程為y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=kx+b x2=4y

得 x²-4kx-4b=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b（6分）
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+

x12x22

16

=-4，
∴x₁x₂=-8，
∴-4b=-8，
∴b=2，
∴直線 y=kx+2過定點（0，2）（9分）
（3）解：|AB|=

1+k2

16k2+16b

=8

1+k2

k2+b

=2（11分）
d=

|b-1|

1+k2

=r（12分）    
∴r=

| 4 k2+1 -k2-1|

k2+1

，
令t=

k2+1

≥1，則r=|

4

t3

-t|，當1≤t＜

2

時，r=

4

t3

-t單調(diào)遞減，0＜r≤3（13分）
當t＞

2

時，r=t-

4

t3

單調(diào)遞增，r＞0（14分）
k存在兩解即t一解，∴r＞3．（16分）

點評：本題考查拋物線的性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．