Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，g（x）=e^x，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）求f（x）的極值；
（2）當(dāng)a=0時(shí)，對于?x∈（0，+∞），求證：f（x）＜g（x）-2．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)定義域、導(dǎo)數(shù)，按照a≥0，a＜0兩種情況討論f′（x）的符號變化，由極值定義可得結(jié)論；
（2）當(dāng)a=0時(shí)，令φ（x）=g（x）-f（x）-2=e^x-lnx-2，利用導(dǎo)數(shù)表示出φ（x）的最小值，只需說明最小值大于零即可．

解答： （1）解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=a+

1

x

（x＞0）．
（i）當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故f（x）沒有極值；
（ii）當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）=

a(x+ 1 a )

x

，
當(dāng)x∈（0，-

1

a

）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（-

1

a

，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，
∴當(dāng)x=-

1

a

時(shí)，f（x）取得極大值f（-

1

a

）=-1+ln（-

1

a

）．
（2）證明：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=lnx，
令φ（x）=g（x）-f（x）-2，則φ（x）=e^x-lnx-2，φ′（x）=e^x-

1

x

．
φ″（x）=e^x+

1

x2

＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴φ′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
設(shè)φ′（x）=0的根為x=t，則e^t=

1

t

，即t=e^-t．
當(dāng)x∈（0，t）時(shí)，φ′（x）＜0，φ（x）在（0，t）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（t，+∞）時(shí)，φ′（x）＞0，φ（x）在（t，+∞）上單調(diào)遞增．
故φ（x）_min=φ（t）=e^t-lnt-2=e^t-lne^-t-2=e^t+t-2．
由φ′（1）=e-1＞0，φ′（

1

2

）=

e

-2＜0，得t∈（

1

2

，1），
∵φ（t）=e^t+t-2在（

1

2

，1）上單調(diào)遞增，
∴φ（x）_min=φ（t）＞φ（

1

2

）=

e

+

1

2

-2＞0．
∴g（x）-f（x）＞2．即f（x）＜g（x）-2．

點(diǎn)評：該題考查恒成立問題、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查分類整合思想、轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識分析解決問題的能力．注意認(rèn)真體會(huì)（Ⅲ）問中二次求導(dǎo)的應(yīng)用．