已知橢圓C的中心在坐標原點，短軸長為4，且有一個焦點與拋物線的焦點重合．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知經(jīng)過定點M（2,0）且斜率不為0的直線交橢圓C于A、B兩點，試問在x軸上是否另存在一個定點P使得始終平分？若存在求出點坐標；若不存在請說明理由．

(Ⅰ)；(Ⅱ) .

解析試題分析：(Ⅰ)設(shè)橢圓的標準方程為：，先由已知條件“短軸長為”，求得，再由已知條件“有一個焦點與拋物線的焦點重合”，求得，則，從而得到橢圓方程；(Ⅱ)設(shè)直線方程為：，與橢圓方程聯(lián)立方程組求得(※)，假設(shè)存在定點使得始終平分，則有，將對應(yīng)點的坐標代入，結(jié)合直線方程以及(※)化簡求得，從而無論如何取值，只要就可保證式子成立，進而得出點坐標.
試題解析：(Ⅰ)∵橢圓的短軸長為，
∴，解得，
又拋物線的焦點為，
∴，則，
∴所求橢圓方程為：．
(Ⅱ)設(shè)：，代入橢圓方程整理得：
則，假設(shè)存在定點使得始終平分，
則
①，
要使得①對于恒成立，則，
故存在定點使得始終平分，它的坐標為．
考點：1.橢圓的標準方程；2.拋物線的性質(zhì)；3.根與系數(shù)的關(guān)系

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點分別為，且，長軸的一個端點與短軸兩個端點組成等邊三角形的三個頂點．
(1)求橢圓方程；
(2)設(shè)橢圓與直線相交于不同的兩點M、N，又點，當時，求實數(shù)m的取值范圍，

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已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，且經(jīng)過點，直線交橢圓于不同的兩點A，B.
（Ⅰ）求橢圓的方程;
（Ⅱ）求m的取值范圍；
（Ⅲ）若直線不過點M，求證：直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形

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已知兩點及，點在以、為焦點的橢圓上，且、、構(gòu)成等差數(shù)列．
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)如圖，動直線與橢圓有且僅有一個公共點，點是直線上的兩點，且，
． 求四邊形面積的最大值．

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如圖，設(shè)P是圓x2＋y2＝25上的動點，點D是P在x軸上的投影，M為PD上一點，且|MD|＝|PD|，當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程。

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已知、分別是橢圓的左、右焦點，右焦點到上頂點的距離為2，若
（Ⅰ）求此橢圓的方程；
（Ⅱ）直線與橢圓交于兩點，若弦的中點為，求直線的方程.

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已知橢圓C的中心在原點，焦點在軸上，焦距為2，離心率為
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線經(jīng)過點（0,1），且與橢圓C交于兩點，若，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切，過點P（4，0）且不垂直于x軸直線與橢圓C相交于A、B兩點.
（1）求橢圓C的方程；
（2）求的取值范圍；
（3）若B點關(guān)于x軸的對稱點是E，證明：直線AE與x軸相交于定點.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖示：已知拋物線的焦點為，過點作直線交拋物線于、兩點，經(jīng)過、兩點分別作拋物線的切線、，切線與相交于點.

（1）當點在第二象限，且到準線距離為時，求；
（2）證明：.

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