Question

8．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{5-x+{4^x}}}{2}-\frac{{|{5-x-{4^x}}|}}{2}$，則f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1]，$f（x）＞\sqrt{5}$的解集為（1，5-$\sqrt{5}$）∪（log₄$\sqrt{5}$，1]．

Answer 1

分析 根據(jù)絕對值的性質(zhì)將函數(shù)f（x）進(jìn)行化簡，結(jié)合分段函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行判斷求解即可．

解答 解：∵函數(shù)y=5-x-4^x為減函數(shù)，且x=1時(shí)，y=5-x-4^x=5-1-4=0，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，5-x-4^x＜0，此時(shí)f（x）=$\frac{5-x+{4}^{x}}{2}$+$\frac{5-x-{4}^{x}}{2}$=5-x為減函數(shù)，
當(dāng)x≤1時(shí)，5-x-4^x≥0，此時(shí)f（x）=$\frac{5-x+{4}^{x}}{2}$-$\frac{5-x-{4}^{x}}{2}$=4^x為增函數(shù)，
即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為為（-∞，1]，
當(dāng)x＞1時(shí)，由5-x＞$\sqrt{5}$得x＜5-$\sqrt{5}$，此時(shí)1＜x＜5-$\sqrt{5}$，
當(dāng)x≤1時(shí)，由4^x＞$\sqrt{5}$得x＞log₄$\sqrt{5}$，此時(shí)log₄$\sqrt{5}$＜x≤1，
即不等式的解集為（1，5-$\sqrt{5}$）∪（log₄$\sqrt{5}$，1]，
故答案為：（-∞，1]，（1，5-$\sqrt{5}$）∪（log₄$\sqrt{5}$，1]．

點(diǎn)評 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)絕對值的性質(zhì)將函數(shù)表示成分段函數(shù)形式是解決本題的關(guān)鍵．