Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=AB．
（1）證明：PC⊥AB；
（2）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）取AB中點O，連結PO，CO，由已知條件推導出AB⊥平面POC，由此能證明PC⊥AB．
（2）以O為原點，OB為x軸，OC為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B-PC-D的余弦值．

解答： （1）證明：取AB中點O，連結PO，CO，
∵四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
PA=PB=AB．
∴PO⊥AB，CO⊥AB，
∵PO∩CO=O，
∴AB⊥平面POC，
∵PC∈平面POC，∴PC⊥AB．
（2）解：∵平面PAB⊥平面ABCD，CO⊥AB，PO⊥AB，
∴以O為原點，OB為x軸，OC為y軸，OP為z軸，
建立空間直角坐標系，
設PA=PB=AB=2，則B（1，0，0），P（0，0，

3

），
C（0，

3

，0），D（-2，

3

，0），

PB

=（1，0，-

3

），

PC

=（0，

3

，-

3

），

PD

=（-2，

3

，-

3

），
設平面BPC的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • PB =x- 3 z=0 n • PC = 3 y- 3 z=0

，取x=

3

，得

n

=（

3

，1，1），
設平面PCD的法向量

m

=（a，b，c），
則

m • PC = 3 b- 3 c=0 m • PD =-2a+ 3 b- 3 c=0

，取b=1，得

m

=（0，1，1），
設二面角B-PC-D的平面角為θ，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

0+1+1

5 × 2

|=

10

5

．
∴二面角B-PC-D的余弦值為

10

5

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．