Question

（本小題滿分12分）數(shù)列中，已知，時，．?dāng)?shù)列滿足：．

（Ⅰ）證明：為等差數(shù)列，并求的通項公式；

（Ⅱ）記數(shù)列的前項和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，求出所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析，；（Ⅱ） ．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）本題的落腳點在上，所以首先從條件的特征入手，里面有因式，提示我們可以考慮在條件中構(gòu)造，從而使條件特征顯現(xiàn)出來，成為解題的突破口；（Ⅱ）充分利用（Ⅰ）中的結(jié)論并結(jié)合已知求出的通項，從而求得，將之代入題設(shè)中的不等式，通過一系列推理、化簡、變形即可得出所求，變形過程應(yīng)特別注意不等號兩邊的結(jié)構(gòu)相似性．

試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時，

由，

，即時，，又，

數(shù)列是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，

由等差數(shù)列的通項公式得：；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，所以，

則，

由，得，

當(dāng)時，；當(dāng)時，

綜上，存在符合條件的所有有序?qū)崝?shù)對為：．

考點：①根據(jù)遞推公式，構(gòu)造性求解數(shù)列通項；②等差數(shù)列的定義和通項公式；③等比數(shù)列的前項和公式；④不等式的基本性質(zhì)；⑤變形、運算、比較的能力和技巧．