Question

已知兩定點(diǎn)F₁(－，0)，F₂(，0)，滿足條件|PF₂|－|PF₁|＝2的點(diǎn)P的軌跡是曲線E．

（1）求曲線E的方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)（0，-1）的直線與曲線E交于A，B兩點(diǎn)．如果|AB|＝6，求直線AB的方程．

 

Answer 1

（1）解：由雙曲線的定義可知，曲線E是以F₁(－，0)，F₂(，0)為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且c＝，a＝1，易知b＝1，故曲線E的方程為x²－y²＝1(x<0)．

（2）設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，由題意建立方程組

消去y，得(1－k²)x²＋2kx－2＝0，又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)A，B，有

解得－<k<－1.

又∵|AB|＝·|x₁－x₂|＝·

＝·＝2，

依題意得2＝6，整理后得28k⁴－55k²＋25＝0，

∴k²＝或k²＝，又－<k<－1，∴k＝－，故直線AB的方程為x＋y＋1＝0.