Question

（2012•安徽）設(shè)函數(shù)f（x）=ae^x+

1

aex

+b（a＞0）．
（Ⅰ）求f（x）在[0，+∞）內(nèi)的最小值；
（Ⅱ）設(shè)曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線(xiàn)方程為y=

3

2

x，求a，b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)t=e^x（t≥1），則y=at+

1

at

+b，求出導(dǎo)函數(shù)y′=

a2t2-1

at2

，再進(jìn)行分類(lèi)討論：①當(dāng)a≥1時(shí)，y′＞0，y=at+

1

at

+b在t≥1上是增函數(shù)；②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，利用基本不等式y=at+

1

at

+b≥2+b，當(dāng)且僅當(dāng)at=1（x=-lna）時(shí)，f（x）取得最小值；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線(xiàn)方程為y=

3

2

x，建立方程組，即可求得a，b的值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)t=e^x（t≥1），則y=at+

1

at

+b
∴y′=

a2t2-1

at2

①當(dāng)a≥1時(shí)，y′＞0，∴y=at+

1

at

+b在t≥1上是增函數(shù)，
∴當(dāng)t=1（x=0）時(shí)，f（x）的最小值為y=a+

1

a

+b
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y=at+

1

at

+b≥2+b，當(dāng)且僅當(dāng)at=1（x=-lna）時(shí)，f（x）的最小值為b+2；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，可得）f′(x)=aex-

1

aex

∵曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線(xiàn)方程為y=

3

2

x，
∴

f(2)=3 f′(2)= 3 2

，即

ae2- 1 ae2 = 3 2 ae2+ 1 ae2 +b=3

，解得

a= 2 e2 b= 1 2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于中檔題．