(2012•安徽)設(shè)函數(shù)f(x)=aex+
1
aex
+b(a>0).
(Ⅰ)求f(x)在[0,+∞)內(nèi)的最小值;
(Ⅱ)設(shè)曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線(xiàn)方程為y=
3
2
x
,求a,b的值.
分析:(Ⅰ)設(shè)t=ex(t≥1),則y=at+
1
at
+b
,求出導(dǎo)函數(shù)y′=
a2t2-1
at2
,再進(jìn)行分類(lèi)討論:①當(dāng)a≥1時(shí),y′>0,y=at+
1
at
+b
在t≥1上是增函數(shù);②當(dāng)0<a<1時(shí),利用基本不等式y=at+
1
at
+b≥2+b
,當(dāng)且僅當(dāng)at=1(x=-lna)時(shí),f(x)取得最小值;
(Ⅱ)求導(dǎo)函數(shù),利用曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線(xiàn)方程為y=
3
2
x
,建立方程組,即可求得a,b的值.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)t=ex(t≥1),則y=at+
1
at
+b

y′=
a2t2-1
at2

①當(dāng)a≥1時(shí),y′>0,∴y=at+
1
at
+b
在t≥1上是增函數(shù),
∴當(dāng)t=1(x=0)時(shí),f(x)的最小值為y=a+
1
a
+b

②當(dāng)0<a<1時(shí),y=at+
1
at
+b≥2+b
,當(dāng)且僅當(dāng)at=1(x=-lna)時(shí),f(x)的最小值為b+2;
(Ⅱ)求導(dǎo)函數(shù),可得)f′(x)=aex-
1
aex

∵曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線(xiàn)方程為y=
3
2
x
,
f(2)=3
f′(2)=
3
2
,即
ae2-
1
ae2
=
3
2
ae2+
1
ae2
+b=3
,解得
a=
2
e2
b=
1
2
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值,屬于中檔題.
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a
=(1,2m),
b
=(m+1,1),
c
=(2,m),若(
a
+
c
)⊥
b
,則|
a
|=
2
2

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x2
+sinx的所有正的極小值點(diǎn)從小到大排成的數(shù)列為{xn}.
(Ⅰ)求數(shù)列{xn}.
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