Question

（2013•門(mén)頭溝區(qū)一模）已知：函數(shù)f（x）=sin²x+

3

cosxcos（

π

2

-x）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸方程；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，

7π

12

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式及輔助角公式 對(duì)已知函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱性可求函數(shù)的對(duì)稱軸
（Ⅱ）由x∈[0，

7π

12

]可得，2x-

π

6

∈[-

π

6

，π]，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)的最值

解答：解：（Ⅰ） f（x）=sin²x+

3

cosxcos（

π

2

-x）
=sin²x+

3

cosxsinx
=

1-cos2x

2

+

3 sin2x

2

…（5分）
=

3 sin2x

2

-

1

2

cos2x+

1

2

=sin（2x-

π

6

）+

1

2

                       …（7分）
函數(shù)關(guān)于直線  2x-

π

6

=

π

2

+kπ，k∈Z對(duì)稱
所以 對(duì)稱軸方程為x=

π

3

+

kπ

2

，k∈Z        …（9分）
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，

7π

12

]時(shí)，2x-

π

6

∈[-

π

6

，π]
由函數(shù)圖象可知，的sin（2x-

π

6

）最大值為1，最小值為-

1

2

…（12分）
所以函數(shù)f（x）的最大值為

3

2

，最小值為0              …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題 主要考查了二倍角公式、輔助角公式在三角函數(shù)的化簡(jiǎn)中的應(yīng)用及正弦函數(shù)的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用．