Question

以下所給的命題中：
①設A、B為兩個定點，k為非零常數，|

PA

|-|

PB

|=k，則動點P的軌跡為雙曲線；
②垂直于同一直線的兩條直線相互平行；
③向量

a

=（1，2）按

b

=（1，1）平移得

c

=（2，3）；
④雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y2=1有相同的焦點．
⑤曲線x³-y³+9x²y+9xy²=0關于原點對稱．
其中真命題的序號為

 

．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：①設A、B為兩個定點，k為非零常數，|

PA

|-|

PB

|=k，利用雙曲線定義可知：只有當k＜|AB|時，動點P的軌跡為雙曲線；
②垂直于同一直線的兩條直線可能相互平行、相交或為異面直線；
③向量

a

=（1，2）按

b

=（1，1）平移得到的仍然是向量

a

；
④雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y2=1有相同的焦點(±

34

，0)；
⑤把（-x，-y）代入曲線x³-y³+9x²y+9xy²=0得到曲線的方程沒有變化，可得：此曲線的圖象關于原點對稱．

解答： 解：①設A、B為兩個定點，k為非零常數，|

PA

|-|

PB

|=k，只有當k＜|AB|時，動點P的軌跡為雙曲線，因此不正確；
②垂直于同一直線的兩條直線相互平行、相交或為異面直線，因此不正確；
③向量

a

=（1，2）按

b

=（1，1）平移得到的仍然是向量

a

，而不是

c

=（2，3），因此不正確；
④雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y2=1有相同的焦點(±

34

，0)，正確；
⑤把（-x，-y）代入曲線x³-y³+9x²y+9xy²=0得到-x³+y³-9x²y-9xy²=0，化為x³-y³+9x²y+9xy²=0，因此曲線的方程沒有變化，可得：此曲線的圖象關于原點對稱．因此正確．
綜上可知：只有④⑤正確．
故答案為：④⑤．

點評：本題綜合考查了圓錐曲線的定義標準方程及其性質、空間中線線位置關系、曲線的對稱性等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力，屬于難題．