Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+3x+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=2，b=0時(shí)，求f（x）在[0，3]上的值域．
（Ⅱ）對(duì)任意的b，函數(shù)g（x）=|f（x）|-$\frac{2}{3}$的零點(diǎn)不超過(guò)4個(gè)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=2，b=0時(shí)，求得f（x），求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求得f（x）單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得[0，3]上的值域；
（Ⅱ）由f′（x）=x²-2ax+3，則△=4a²-12，根據(jù)△的取值范圍，利用韋達(dá)定理及函數(shù)的單調(diào)性，即可求得a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2，b=0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x²+3x，求導(dǎo)，f′（x）=x²-4x+3=（x-1）（x-3），
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，故函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，f′（x）＜0，故函數(shù)f（x）在（1，3）上單調(diào)遞減，
由f（0）=f（0）=0，f（1）=$\frac{4}{3}$，
∴f（x）在[0，3]上的值域?yàn)閇0，$\frac{4}{3}$]；
（Ⅱ）由f′（x）=x²-2ax+3，則△=4a²-12，
①當(dāng)△≤0，即a²≤3時(shí)，f′（x）≥0，f（x）在R上單調(diào)遞增，滿(mǎn)足題意，
②當(dāng)△＞0，即a²＞3時(shí)，方程f′（x）=0有兩根，設(shè)兩根為x₁，x₂，且x₁＜x₂，則x₁+x₂=2a，x₁x₂=3，
則f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）上單調(diào)遞增，
在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減，
由題意可知丨f（x₁）-f（x₂）丨≤$\frac{4}{3}$，
∴丨$\frac{{x}_{1}^{3}-{x}_{2}^{3}}{3}$-a（x₁²-x₂²）+3（x₁-x₂）丨≤$\frac{4}{3}$，
化簡(jiǎn)得：$\frac{4}{3}$（a²-3）${\;}^{\frac{3}{2}}$≤$\frac{4}{3}$，解得：3＜a²≤4，
綜合①②，可得a²≤4，
解得：-2≤a≤2．
a的取值范圍[-2.2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及值域，考查分類(lèi)討論思想，屬于中檔題．