【題目】設函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，證明恒成立.

【答案】（1）當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）證明見詳解.

【解析】

（1）求導，對參數(shù)進行分類討論，進而求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）將恒成立問題，轉(zhuǎn)化兩個函數(shù)最值之間的問題，進而求解.

（1）由題意得，.

①當時，，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

②當時，在區(qū)間上，，在區(qū)間上，，

故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

（2）證明：

要證，只需證.

又，故只需證即可.

設，則，

在區(qū)間上，，在區(qū)間上，，

故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以.

設，則，

在區(qū)間上，，在區(qū)間上，，

故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以.

又，所以.

又因為，所以，

所以，

故在上，，

綜上，恒成立.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在矩形中，，，是的中點，為的中點，以為折痕將向上折起，使點折到點，且.

（1）求證: 面；

（2）求與面所成角的正弦值.

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【題目】在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中,所有棱長均為2，∠AA1D1=∠AA1B1=60°，∠D1A1B1=90°.

（1）求證:A1C⊥B1D1；

（2）求對角線AC1的長；

（3）求二面角C1﹣AB1﹣D1的平面角的余弦值的大小.

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【題目】《中國詩詞大會》是央視首檔全民參與的詩詞節(jié)目，節(jié)目以“賞中華詩詞，尋文化基因，品生活之美”為宗旨.每一期的比賽包含以下環(huán)節(jié)：“個人追逐賽”、“攻擂資格爭奪賽”和“擂主爭霸賽”，其中“擂主爭霸賽”由“攻擂資格爭奪賽”獲勝者與上一場擂主進行比拼.“擂主爭霸賽”共有九道搶答題，搶到并答對者得一分，答錯則對方得一分，率先獲得五分者即為該場擂主.在《中國詩詞大會》的某一期節(jié)目中，若進行“擂主爭霸賽”的甲乙兩位選手每道搶答題得到一分的概率都是為0.5，則搶答完七道題后甲成為擂主的概率為________.

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【題目】已知函數(shù)， ，（其中， 為自然對數(shù)的底數(shù)， ……）.

（1）令，若對任意的恒成立，求實數(shù)的值；

（2）在（1）的條件下，設為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)， ，求的最小值.

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【題目】已知函數(shù)．

（1）若關于的不等式恒成立，求的取值范圍；

（2）當時，求證：；

（3）求證：．

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【題目】在平面直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標原點O為極，z軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.

(Ⅰ)求曲線C的普通方程和直線的直角坐標方程；

(Ⅱ)設點．若直線與曲線C相交于A，B兩點，求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設．

討論的單調(diào)區(qū)間；

當時，在上的最小值為，求在上的最大值．

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【題目】已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24，16，16．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調(diào)查．

（1）應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？

（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查．用X表示抽取的3人中睡眠充足的員工人數(shù)，求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望.

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