Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，求證：；

（3）求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析．

【解析】

（1）不等式恒成立等價(jià)于恒成立，即，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可得解；

（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，有恒成立，所以，然后令，即，再不等式左右兩邊分別累加求和即可得解；

（3）由（1）可知，當(dāng)時(shí)， 在上恒成立，即要證等價(jià)于，即只需證當(dāng)時(shí)，，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求證即可.

解：（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

由，得，

所以恒成立，即．

令，則，

令，解得，令，解得，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

所以函數(shù)的最小值為，所以，

即的取值范圍是．

（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，有恒成立，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）．

令，得，

所以，，，，，

以上各式相加，得，

所以，

即．

（3）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，

即在上恒成立．

要證，即證，

只需證當(dāng)時(shí)，．

令，則．

令，則．

由，得．

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．

即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

而，，

所以，使得．

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．

又，，

所以對(duì)，恒成立，即．

綜上所述，成立.