Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)且滿足f（

3

2

-x）=f（x），f（-2）=5，數(shù)列a₁=-1，且

Sn

n

=2×

an

n

+1（其中S_n為{a_n}的前n項和），則f（a₆）+f（a₇）=

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：首先，根據

Sn

n

=2×

an

n

+1，得到s_n=2a_n+n，然后，利用遞推法得到：數(shù)列{a_n-1}是首項為-1，公比為2的等比數(shù)列，從而得到a_n=-2ⁿ+1，然后，結合函數(shù)f（x）是奇函數(shù)且滿足f（

3

2

-x）=f（x），該函數(shù)為周期為3的函數(shù)，從而求解．

解答： 解：∵

Sn

n

=2×

an

n

+1，
∴s_n=2a_n+n，
∴當n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=2a_n+n-（2a_n-1+n-1）=2a_n-2a_n-1+1
∴a_n=2a_n-1-1（n≥2），
∴a_n-1=2（a_n-1-1），
∵a₁=-1，
∴數(shù)列{a_n-1}是首項為-1，公比為2的等比數(shù)列，
∴它的通項公式為：
a_n=-2ⁿ+1，
∴a₆=-63，a₇=-127，
∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)且滿足f（

3

2

-x）=f（x），
有f（

3

2

-x）=-f（-x），
則f（3-x）=-f（

3

2

-x）=f（-x），
即f（3-x）=f（-x），
∴f（x）為周期為3的函數(shù)，
∴f（a₆）+f（a₇）=f（-63）+f（-127）
=f（0）+f（-1）=f（2）=-5，
故答案為：-5．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的周期性、奇偶性、數(shù)列的概念和通項公式等知識，考查比較綜合，屬于中檔題，本題的解題關鍵是構造數(shù)列，然后根據構造的數(shù)列寫出需要的數(shù)列．