Question

20．在銳角三角形ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c且$\sqrt{3}$（tanA-tanB）=1+tanA•tanB．
（1）求A-B的大小；
（2）已知$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{3}$，向量$\overrightarrow{m}$=（sinA，cosA），$\overrightarrow{n}$=（cosB，sinB），求|3$\overrightarrow{m}$-2$\overrightarrow{n}$|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和差的正切公式進(jìn)行化簡求解即可．
（2）利用向量數(shù)量積的定義以及向量模長與向量數(shù)量積的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵$\sqrt{3}$（tanA-tanB）=1+tanA•tanB，又△ABC為銳角三角形
∴$\frac{tanA-tanB}{1+tanAtanB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即tan（A-B）=$\frac{tanA-tanB}{1+tanAtanB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵0＜A＜$\frac{π}{2}$，0＜B＜$\frac{π}{2}$，
∴-$\frac{π}{2}$＜A-B＜$\frac{π}{2}$，
則A-B=$\frac{π}{6}$．
（2）∵$\overrightarrow{m}$=（sinA，cosA），$\overrightarrow{n}$=（cosB，sinB），
∴|$\overrightarrow{m}$|=1，|$\overrightarrow{n}$|=1，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B），
則|3$\overrightarrow{m}$-2$\overrightarrow{n}$|²=9|$\overrightarrow{m}$|²+4|$\overrightarrow{n}$|²-12$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=13-12sin（A+B）=13-12sin（2B+$\frac{π}{6}$），
∵$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{3}$，∴$\frac{π}{2}$＜2B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴sin（2B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1），12sin（2B+$\frac{π}{6}$）∈（6，12），13-12sin（2B+$\frac{π}{6}$）∈（1，7），
則|3$\overrightarrow{m}$-2$\overrightarrow{n}$|∈（1，$\sqrt{7}$）
∴|3$\overrightarrow{m}$-2$\overrightarrow{n}$|的取值范圍是（1，$\sqrt{7}$）．

點評 本題主要考查兩角和差的正切公式以及向量數(shù)量積與三角函數(shù)的綜合，利用向量模長與向量數(shù)量積的關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．