Question

函數(shù)f（x）=cos2x+4asinx，x∈[

π

6

，

7π

6

]的最小值為g（a），求g（a）的表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：運(yùn)用二倍角的余弦公式，配方化簡f（x）的表達(dá)式，再令令t=sinx，由x的范圍，求出t的范圍，再由二次函數(shù)的對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，即可得到最小值．

解答： 解：f（x）=cos2x+4asinx
=1-2sin²x+4asinx=-2（sinx-a）²+1+2a²，
令t=sinx，由于x∈[

π

6

，

7π

6

]，則t∈[-

1

2

，1]，
則h（t）=-2（t-a）²+1+2a²，
對稱軸t=a，
當(dāng)a≤-

1

2

時(shí)，函數(shù)h（t）在t∈[-

1

2

，1]上遞減，則g（a）=1-2+4a=4a-1；
當(dāng)-

1

2

＜a≤

1

4

，則h（-

1

2

）≥h（1），則g（a）=h（1）=4a-1，
當(dāng)

1

4

＜a＜1，則h（-

1

2

）＜h（1），則g（a）=h（-

1

2

）=

1

2

-2a，
當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)h（t）在t∈[-

1

2

，1]上遞增，則g（a）=h（-

1

2

）=

1

2

-2a．
則g（a）=

4a-1，a≤ 1 4 1 2 -2a，a＞ 1 4

．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的最值，考查二倍角公式的運(yùn)用，及正弦函數(shù)的值域和單調(diào)性，考查分類討論的思想方法，以及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，屬于中檔題和易錯(cuò)題．