Question

平行六面體ABCD=A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AD=2，AA₁=3．∠BAD=90°，∠BAA₁=∠DAA₁=60°
求AC₁的長．

Answer 1

分析：觀察圖形及題設(shè)條件，可構(gòu)造出與AC₁有關(guān)的三角形然后利用三角形求此線段的長度，由題設(shè)條件可以證出AA₁在底面上的射影是角BAD的角平分線，由幾何體的幾何特征知，CC₁在底面上的射影在BC，DC的所組成的角的角平分線上，且此垂足到C的距離與點(diǎn)A₁在底面的垂足O到A的距離相，故可依據(jù)題設(shè)條件求出點(diǎn)O到AB，AD的距離，即求得圖中HR，CR的長度，補(bǔ)出如圖的圖形，在直角三角形中即可求出AC₁的長

解答：解：由題意，如圖，作A₁O⊥底面于O，作OE垂直AB于E，OF垂直AD于F，連接A₁F，A₁E，
由于，∠BAA₁=∠DAA₁=60°，故有△A₁FA≌△A₁EA，即A₁F=A₁E
從而有△A₁FO≌△A₁EO，即有OF=OE，由作圖知，O在角DAB的角平分線上，
又底面是矩形，故角DAO=角BAO=45°，
又AB=1，AD=2，AA₁=3，∠BAA₁=∠DAA₁=60°，
∴A₁F=A₁E=

3 3

2

，AE=AF=

3

2

，于是有AO=

3 2

2

，
在直角三角形A₁OA中，解得A₁O=

3 2

2

在圖中作C₁H垂直底面于H，作HR垂直DC延長線與R，由幾何體的性質(zhì)知，HR=CR=

3

2

，A₁O=C₁H=

3 2

2

連接AH，得如圖的直角三角形ASH，直角三角形AHC₁，由已知及上求解得AS=

5

2

，SH=

7

2

∴AC₁²=AH²+C₁H²=AS²+SH²+C₁H²=

25

4

+

49

4

+

18

4

=

92

4

=23
∴AC₁=

23

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了體對(duì)角線的求解，同時(shí)考查了空間想象能力，計(jì)算推理的能力，本題解題的關(guān)鍵是有著較強(qiáng)的空間感知能力以及根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造圖形的能力，本題是一個(gè)創(chuàng)造型題，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線對(duì)求解本題很重要，本題是立體幾何中綜合性較強(qiáng)的題，解題中用到了間接法的技巧，通過求點(diǎn)A₁到底面的距離求出點(diǎn)C₁到底面的距離